Flashcard FC279160
Por que as equações de Newton são invariantes por inversão temporal quando a força depende apenas da posição?
Dinâmica
CEBRASPE (CESPE) · 2018
Por que as equações de Newton são invariantes por inversão temporal quando a força depende apenas da posição?
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Resposta
Porque a aceleração permanece com o mesmo sinal sob \(t\to -t\) enquanto a força \( \mathbf F(\mathbf r)\) não depende da velocidade, logo \( \mathbf r'(t)=\mathbf r(-t)\) também satisfaz \(m\ddot{\mathbf r}=\mathbf F(\mathbf r)\).Ao inverter o tempo:
velocidade muda de sinal: \( \dot{\mathbf r}'(t)=-\dot{\mathbf r}(-t)\),
aceleração preserva o sinal: \(\ddot{\mathbf r}'(t)=\ddot{\mathbf r}(-t)\).
Se \(\;m\ddot{\mathbf r}(t)=\mathbf F(\mathbf r(t))\) e \(\mathbf F\) depende só de \(\mathbf r\), então substituindo \(\mathbf r'(t)=\mathbf r(-t)\) obtém-se \(m\ddot{\mathbf r}'(t)=\mathbf F(\mathbf r'(t))\), logo a equação é satisfeita sob inversão temporal.
Exemplo: massa em mola (1D): \(m\ddot x=-k x\). Uma solução é \(x(t)=A\cos(\omega t+\phi)\) com \(\omega=\sqrt{k/m}\). Então \(x(-t)=A\cos(\omega t-\phi)\) também é solução, e \(\dot x(-t)=-\dot x(t)\), mostrando que a equação é invariante por \(t\to -t\).
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