Qual curva no plano (x,v) é dada por \(E=\tfrac12 m v^2+\tfrac12 K x^2\) e quais são seus semieixos?

Elipse.

Semieixos: \(a_x=\sqrt{\dfrac{2E}{K}}\) e \(a_v=\sqrt{\dfrac{2E}{m}}\).

Explicação completa: Ao dividir por E obtém-se a forma normalizada da elipse:
\( \dfrac{x^2}{a_x^2}+\dfrac{v^2}{a_v^2}=1\).
As duas ramificações de velocidade são \(v=\pm a_v\sqrt{1-(x/a_x)^2}\), correspondendo aos ramos superior e inferior da elipse.

Exemplo: Seja \(m=1\ \text{kg}\), \(K=4\ \text{N/m}\) e \(E=2\ \text{J}\).
Então \(a_x=\sqrt{\dfrac{2E}{K}}=\sqrt{\dfrac{4}{4}}=1\ \text{m}\) e \(a_v=\sqrt{\dfrac{2E}{m}}=\sqrt{\dfrac{4}{1}}=2\ \text{m/s}\).
A equação fica \( \dfrac{x^2}{1^2}+\dfrac{v^2}{2^2}=1\) e \(v=\pm 2\sqrt{1-x^2}\).