Segundo a 3ª Lei de Kepler, qual é a relação entre \(R^3\) e \(T^2\) para corpos que orbitam a mesma estrela e qual a consequência para \(\dfrac{(R_A/R_B)^3}{(T_A/T_B)^2}\)?

Igual a 1.

\(<\)br>Pela 3ª Lei de Kepler existe uma constante \(k\) tal que \(R^3/T^2=k\) para todos os corpos que orbitam a mesma estrela. Portanto
\(\dfrac{(R_A/R_B)^3}{(T_A/T_B)^2}=\dfrac{R_A^3}{T_A^2}\cdot\dfrac{T_B^2}{R_B^3}=k\cdot\dfrac{1}{k}=1.\)

Exemplo:
Considere dois satélites em órbita do mesmo planeta com \(R_1=7000\) km e \(R_2=14000\) km. Como \(T\propto R^{3/2}\), tem-se \(T_2=T_1\left(\dfrac{R_2}{R_1}\right)^{3/2}=T_1\cdot2^{3/2}=2{,}828\,T_1\). Então
\(\left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^3=\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{1}{8}\) e \(\left(\dfrac{T_1}{T_2}\right)^2=\left(\dfrac{1}{2{,}828}\right)^2=\dfrac{1}{8}\),
logo \(\dfrac{(R_1/R_2)^3}{(T_1/T_2)^2}=\dfrac{1/8}{1/8}=1.\)