Como obter a razão entre os raios médios de duas órbitas a partir da razão de seus períodos segundo a Terceira Lei de Kepler?

\(\dfrac{R_1}{R_2}=\left(\dfrac{T_1}{T_2}\right)^{2/3}\)

Explicação:
Da Terceira Lei de Kepler segue \(T^2\propto R^3\). Portanto para duas órbitas: \( \left(\dfrac{T_1}{T_2}\right)^2=\left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^3\).
Isolando a razão dos raios: \(\dfrac{R_1}{R_2}=\left(\dfrac{T_1}{T_2}\right)^{2/3}\).

Exemplo:
Se \(T_1=8\) dias e \(T_2=27\) dias então
\(\dfrac{T_1}{T_2}=\dfrac{8}{27}\).
\(\dfrac{R_1}{R_2}=\left(\dfrac{8}{27}\right)^{2/3}=\left(\dfrac{8^{1/3}}{27^{1/3}}\right)^{2}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}=\dfrac{4}{9}\approx0{,}444\).