Como a conservação do momento angular leva à constância da velocidade areolar de um corpo em órbita sob uma força central?

Porque para uma força central o torque é nulo, logo \( \mathbf{L}=m(\mathbf{r}\times\mathbf{v}) \) é constante e \( \dfrac{dA}{dt}=\tfrac{1}{2}|\mathbf{r}\times\mathbf{v}|=\dfrac{|\mathbf{L}|}{2m}\) é constante.

Explicação e exemplo:
Para uma força central tem-se \( \boldsymbol{\tau}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}=0\Rightarrow \dfrac{d\mathbf{L}}{dt}=0\).
Definindo a área varrida em um intervalo \(dt\) como \(dA=\tfrac{1}{2}|\mathbf{r}\times d\mathbf{r}|=\tfrac{1}{2}|\mathbf{r}\times\mathbf{v}|\,dt\), obtém-se
\( \dfrac{dA}{dt}=\tfrac{1}{2}|\mathbf{r}\times\mathbf{v}|=\dfrac{|\mathbf{L}|}{2m}\), portanto constante no tempo.

Exemplo:
Considere um satélite com vetor posição perpendicular à velocidade no instante considerado, com
\(r=7\times10^{6}\ \mathrm{m}\) e \(v=7{,}5\times10^{3}\ \mathrm{m/s}\). Então
\( \dfrac{dA}{dt}=\dfrac{r\,v}{2}=\dfrac{7\times10^{6}\cdot7{,}5\times10^{3}}{2}=2{,}625\times10^{10}\ \mathrm{m^2/s}.\)
Note que a massa do corpo cancela na expressão, mostrando que a velocidade areolar é independente da massa e permanece constante enquanto a força for central.