Flashcard FC279346
Qual a expressão correta para a energia necessária para levar, a partir da superfície da Terra, uma massa m a uma órbita circular de raio R?
Gravitação Universal
CEBRASPE (CESPE) · 2018
Qual a expressão correta para a energia necessária para levar, a partir da superfície da Terra, uma massa m a uma órbita circular de raio R?
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Resposta
\( \Delta E = GMm\!\left(\dfrac{1}{R_T}-\dfrac{1}{2R}\right)\)Derivação e comentário:
A energia potencial gravitacional é \(U(r)=-\dfrac{GMm}{r}\).
A energia total de uma órbita circular de raio \(R\) é \(E_{órbita}=-\dfrac{GMm}{2R}\) (potencial + cinética).
Partindo da superfície (\(U_{sup}=-\dfrac{GMm}{R_T}\)) obtém-se
\( \Delta E = E_{órbita}-U_{sup}=GMm\!\left(\dfrac{1}{R_T}-\dfrac{1}{2R}\right)\).
Essa expressão mostra por que \(E=mgR_T\) está incorreta: ela ignora a variação do campo gravitacional e a energia cinética necessária para a órbita.
Exemplo:
Considere \(m=500\ \mathrm{kg}\) e \(H=400\ \mathrm{km}\) (então \(R=R_T+H\)).
Usando \(GM\approx 3{,}986\times10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}\) e \(R_T\approx6{,}371\times10^6\ \mathrm{m}\):
\( \Delta E = GMm\!\left(\dfrac{1}{R_T}-\dfrac{1}{2R}\right)\approx 1{,}66\times10^{10}\ \mathrm{J}.\)
Para comparação: \(mgR_T\approx 3{,}12\times10^{13}\ \mathrm{J}\) (muito maior e incorreto) e \(mgH\approx 1{,}96\times10^{9}\ \mathrm{J}\).
Veja como foi cobrado:
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