O empuxo sobre um corpo rígido totalmente imerso em um líquido incompressível varia quando sua profundidade aumenta?

Não.

Explicação: Para um corpo rígido totalmente imerso em um líquido incompressível, o empuxo depende apenas do volume de fluido deslocado e da densidade do líquido, segundo o Princípio de Arquimedes: \(E=\rho_{\text{líq}}\,V_{\text{deslocado}}\,g\). A profundidade absoluta só altera as pressões absoluta, não a diferença de pressão resultante que gera o empuxo, desde que o fluido seja homogêneo e o corpo incompressível.

Exemplo:
Considere um cubo rígido de lado 0,20 m totalmente submerso em água (\(\rho=1000\ \text{kg/m}^3\)).
Volume: \(V=(0{,}20)^3=0{,}008\ \text{m}^3\).
Empuxo: \(E=\rho V g = 1000\times0{,}008\times9{,}8=78{,}4\ \text{N}\).
Se o cubo for afundado mais profundamente, as pressões na face superior e inferior aumentam, mas a diferença \(p_{\text{inf}}-p_{\text{sup}}=\rho g h\) (com \(h=0{,}20\ \text{m}\)) permanece a mesma, e o empuxo continua sendo \(78{,}4\ \text{N}\).