Por que em um fluido em repouso só existem tensões normais (pressão) e não tensões de cisalhamento?

Porque fluidos não sustentam tensões de cisalhamento em equilíbrio; qualquer cisalhamento provoca escoamento, de modo que o tensor de tensões é puramente pressórico \( \sigma_{ij}=-p\,\delta_{ij} \).

Explicação:
Em repouso, não há velocidade relativa entre camadas, então não podem existir tensões tangenciais permanentes; as forças internas em um ponto são iguais em todas as direções e normais à superfície, caracterizadas pela pressão \(p\).
Para um elemento cúbico de fluido em equilíbrio, as componentes de cisalhamento são nulas e a condição de equilíbrio linear leva a \( \sigma_{ij}=-p\,\delta_{ij} \), do que decorre a variação hidrostática \( \dfrac{dp}{dz}=-\rho g \).

Exemplo:
Considere um pequeno cubo de fluido de área da face \(A\) e espessura \(dz\) a profundidade \(z\).
Força na face superior: \(F_{sup}=p(z)\,A\).
Força na face inferior: \(F_{inf}=p(z+dz)\,A=p(z)A+\dfrac{dp}{dz}A\,dz\).
Força resultante vertical: \(F_{res}=F_{inf}-F_{sup}=\dfrac{dp}{dz}A\,dz\).
Equilíbrio com o peso do elemento exige \(\dfrac{dp}{dz}=-\rho g\), e não aparecem forças tangenciais nas faces laterais, confirmando que só há tensões normais (pressão).