Por que, para um fluido incompressível e sem perdas, a velocidade de saída de um orifício escala como √h e independe da densidade?

Porque, aplicando continuidade e Bernoulli entre superfície livre e orifício obtém-se v ∝ √h e a densidade cancela.

Explicação:
Continuidade: \(V A = v a \Rightarrow V=(a/A)\,v\).
Bernoulli (mesma pressão atmosférica): \(\dfrac{v^2}{2}+gh=\dfrac{V^2}{2}\).
Substituindo \(V\): \(v^2\bigl(1-(a/A)^2\bigr)=2gh\).
Logo \(v=\sqrt{\dfrac{2g\,h}{1-(a/A)^2}}\) e \(V=(a/A)v=K\sqrt{h}\).
Como Bernoulli é por unidade de massa (\(p/\rho+v^2/2+gh\)), a \(\rho\) cancela, então \(K\) não depende de \(\rho\).

Exemplo:
Se \(A=1{\,\rm m^2}\), \(a=0{.}01{\,\rm m^2}\), \(h=4{\,\rm m}\) e \(g=10{\,\rm m/s^2}\):
\(a/A=0{.}01\), \((a/A)^2=1\times10^{-4}\).
\(v=\sqrt{\dfrac{2\cdot10\cdot4}{1-10^{-4}}}=\sqrt{\dfrac{80}{0{.}9999}}\approx8{.}945\ \rm m/s\).
\(V=(a/A)v=0{.}01\cdot8{.}945\approx0{.}0895\ \rm m/s\).