Se a velocidade de saída v de um orifício satisfaz v ∝ √h, como o nível h(t) evolui no tempo e como o tempo total de esvaziamento tf escala com a altura inicial h0?

h(t) obedece a \(-\dfrac{dh}{dt}=k\sqrt{h}\) e o tempo total de esvaziamento tf ∝ √h0.

Derivação:
Partindo de \( -\dfrac{dh}{dt}=k\sqrt{h}\), separa-se as variáveis:
\( -\int h^{-1/2}\,dh=\int k\,dt\)
Integração resulta em \(2\sqrt{h}= -kt + C\). Com \(h(0)=h_0\) tem-se \(C=2\sqrt{h_0}\), portanto
\(2\sqrt{h}=2\sqrt{h_0}-kt\) e
\(h(t)=\big(\sqrt{h_0}-\tfrac{k}{2}t\big)^2\).
O tempo de esvaziamento até \(h=0\) é
\(t_f=\dfrac{2\sqrt{h_0}}{k}\), logo \(t_f\propto\sqrt{h_0}\).

Exemplo:
Considere \(k=0{,}5\ \mathrm{m^{1/2}/s}\) e \(h_0=4\ \mathrm{m}\).
\(\sqrt{h_0}=2\ \mathrm{m^{1/2}}\) então
\(t_f=\dfrac{2\sqrt{h_0}}{k}=\dfrac{2\cdot 2}{0{,}5}=8\ \mathrm{s}.\)
Se \(h_0\) for quadruplicada (\(h_0' =4h_0\)), então \(\sqrt{h_0'}=2\sqrt{h_0}\) e \(t_f'\) dobra, confirmando a escala \(t_f\propto\sqrt{h_0}\).