Por que a exigência de extensividade da entropia implica que \(s=S/N\) não pode depender de \(N\)?

Porque, se \(s\) dependesse de \(N\), ao escalar o sistema \(S(\lambda N,\lambda V,\lambda U)\) não seria proporcional a \(\lambda\).

Explicação:
Se escrevermos \(s(N,v,u)=f(u,v)+k_B\ln N\), então
\(S=Ns=Nf(u,v)+k_B N\ln N\). Ao escalar por \(\lambda\):
\(S(\lambda N,\ldots)=\lambda N f(u,v)+k_B\lambda N\ln(\lambda N)\)=\(\lambda S + k_B\lambda N\ln\lambda\),
ou seja, surge um termo extra \(\propto N\ln\lambda\) que impede \(S\) de escalar linearmente com \(\lambda\). Portanto \(s\) deve depender apenas de variáveis intensivas (\(u,v\)), sem \(\ln N\).

Exemplo:
Considere dois subsistemas idênticos com \(N\) partículas cada. Se \(s=f(u,v)+k_B\ln N\), então
\(S_{\text{total}}=2Nf+k_B2N\ln(2N)\), enquanto a soma das entropias separadas é
\(2S_{\text{cada}}=2Nf+k_B2N\ln N\). A diferença é
\(S_{\text{total}}-2S_{\text{cada}}=k_B2N\ln 2\neq 0\), mostrando não extensividade; a correção pela indistinguibilidade (remoção do termo \(\ln N\)) elimina esse problema.