Flashcard FC279671
Por que um potencial unidimensional pode ser aproximado por um potencial quadrático perto de um mínimo estável e como se obtém \(\omega\) nessa aproximação?
Oscilações (inclui Movimento Harmônico Simples)
CEBRASPE (CESPE) · 2023
Por que um potencial unidimensional pode ser aproximado por um potencial quadrático perto de um mínimo estável e como se obtém \(\omega\) nessa aproximação?
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Resposta
Porque, em torno de um mínimo com \(V'(x_0)=0\) e \(V''(x_0)>0\), a expansão de Taylor truncada em 2ª ordem dá \(V(x)\approx V(x_0)+\tfrac12V''(x_0)(x-x_0)^2\), e \(\omega^2=V''(x_0)/m\).Explicação:
Em um ponto de equilíbrio estável tem‑se \(V'(x_0)=0\) e \(V''(x_0)>0\).
Expandindo \(V(x)\) em série de Taylor ao redor de \(x_0\) e descartando termos de ordem ≥3 para pequenas oscilações, obtém‑se um potencial quadrático efetivo.
Assim o movimento reduz‑se ao MHS com \(V(x)\approx \tfrac12m\omega^2(x-x_0)^2\) e \(\omega=\sqrt{V''(x_0)/m}\).
Exemplo:
Considere o potencial de Morse
\(V(x)=D_e\big(1-e^{-a(x-x_0)}\big)^2\).
Calculando a segunda derivada no mínimo \(x_0\) dá \(V''(x_0)=2D_e a^2\).
Logo, para pequenas oscilações em torno de \(x_0\):
\(V(x)\approx \tfrac12(2D_e a^2)(x-x_0)^2\) e \(\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{2D_e a^2}{m}}\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/278627
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