O que determina a frequência natural de pequeno-amplitude de um pêndulo simples e por que dois pêndulos acoplados podem oscilar na mesma frequência mesmo com massas diferentes?

Depende do comprimento e da gravidade; é independente da massa. O acoplamento transmite forças periódicas e, por ressonância, sincroniza as oscilações.

Explicação:
Para pequenas oscilações a frequência natural de um pêndulo simples é
\(f=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{g}{L}}\)
Logo, a frequência depende apenas do comprimento \(L\) e da aceleração da gravidade \(g\), não da massa.
Quando dois pêndulos têm a mesma frequência natural e estão acoplados (por exemplo, via uma corda ou uma base comum), movimentos de um geram forças periódicas sobre o outro. Se essa força tem a mesma frequência natural do segundo, ocorre ressonância (transferência de energia) e ambos passam a oscilar na mesma frequência.

Exemplo:
Dois metrônomos ajustados para a mesma frequência colocados sobre uma tábua móvel se sincronizam por acoplamento mecânico da tábua.
Para ver a independência da massa com um pêndulo: se \(L=1{\,\rm m}\) e \(g=9{,}8{\,\rm m/s^2}\), então
\(f=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{9{,}8}{1}}\approx 0{,}498\ \text{Hz}\).
Dois pêndulos de 1 m, mesmo com massas diferentes, têm essa mesma frequência natural e, quando acoplados, podem oscilar juntos por ressonância.