Qual termo da expansão da polarização é responsável pela geração do segundo harmônico e por que sua contribuição depende da intensidade da luz?

O termo de segunda ordem, \(\varepsilon_0\chi^{(2)}E^2\); como \(I\propto E_0^2\), a amplitude do segundo harmônico é proporcional à intensidade e requer cristais não centrósimétricos (\(\chi^{(2)}\neq0\)).

Explicação:
Partindo de \(P=\varepsilon_0[\chi^{(1)}E+\chi^{(2)}E^2+\chi^{(3)}E^3+\dots]\) e tomando \(E(t)=E_0\cos\omega t\), tem-se
\(E^2(t)=E_0^2\cos^2\omega t=\dfrac{E_0^2}{2}[1+\cos2\omega t]\),
logo o termo \(\chi^{(2)}E^2\) contém componente em \(2\omega\) com amplitude
\(P_{2\omega}=\varepsilon_0\chi^{(2)}\dfrac{E_0^2}{2}\).
Como \(I\propto E_0^2\), segue \(P_{2\omega}\propto\chi^{(2)}I\).
Em meios centrosimétricos \(\chi^{(2)}=0\), impedindo SHG eficiente.

exemplo:
Considere a duplicação de frequência de um laser de 1064 nm para 532 nm usando um cristal KTP. Com \(E(t)=E_0\cos\omega t\) e \(\chi^{(2)}\) do cristal, a componente em \(2\omega\) tem
\(P_{2\omega}=\varepsilon_0\chi^{(2)}\dfrac{E_0^2}{2}\).
Se a intensidade incidente dobra (\(I\propto E_0^2\) dobra), a amplitude de \(P_{2\omega}\) também dobra, aumentando a eficiência do SHG; sem a não-centrósimetria (\(\chi^{(2)}=0\)) esse efeito não ocorre.