Se \(I_2 = w I_1\) e \(\beta(I)=10\log_{10}\!\dfrac{I}{I_0}\), qual a relação entre \(\beta_2\) e \(\beta_1\)?

\(\beta_2 = \beta_1 + 10\log_{10} w\)

Explicação:
Partindo de \(\beta_1=10\log_{10}\dfrac{I_1}{I_0}\) e \(\beta_2=10\log_{10}\dfrac{I_2}{I_0}\), com \(I_2=wI_1\):
\( \beta_2=10\log_{10}\dfrac{wI_1}{I_0}=10\log_{10}w+10\log_{10}\dfrac{I_1}{I_0}=\beta_1+10\log_{10}w.\)
Note que \(w\) é adimensional (razão de intensidades), logo o argumento do log é adimensional.

Exemplo:
\(I_0=10^{-12}\ \text{W/m}^2,\ I_1=2\times10^{-6}\ \text{W/m}^2,\ w=4\).
\( \beta_1 = 10\log_{10}\dfrac{2\times10^{-6}}{10^{-12}}=10\log_{10}(2\times10^6)=10(\log_{10}2+6)\approx63{,}01\ \text{dB}.\)
\( \beta_2=\beta_1+10\log_{10}4\approx63{,}01+10(0{,}60206)\approx69{,}03\ \text{dB}.\)