Como se forma uma onda estacionária pela superposição de duas ondas harmônicas e como se determina a posição dos nós?

Resposta

Quando duas ondas harmônicas de mesma amplitude e mesmo número de onda, propagando-se em sentidos opostos com a mesma frequência, se somam, elas formam uma onda estacionária; os nós satisfazem \( \cos(kx)=0 \Rightarrow x_n=\dfrac{(2n+1)\pi}{2k} \).

Explicação:
Para ondas \(y_1=A\cos(kx-\omega t)\) e \(y_2=A\cos(kx+\omega t)\) usa-se a identidade trigonométrica para obter
\(y=y_1+y_2=2A\cos(kx)\cos(\omega t)\), que é uma onda estacionária com perfil espacial fixo \( \cos(kx)\) e oscilação temporal \( \cos(\omega t)\).
Os nós são pontos onde a amplitude espacial é nula: \( \cos(kx)=0\), levando a \( x_n=\dfrac{(2n+1)\pi}{2k}\), independentes do tempo.

Exemplo:
Considere \(y_1=0{,}5\cos(2x-3t)\) e \(y_2=0{,}5\cos(2x+3t)\). Então
\(y=0{,}5\cos(2x-3t)+0{,}5\cos(2x+3t)=2\cdot0{,}5\cos(2x)\cos(3t)=\cos(2x)\cos(3t).\)
Os nós satisfazem \(\cos(2x)=0\Rightarrow 2x=\tfrac{(2n+1)\pi}{2}\Rightarrow x_n=\dfrac{(2n+1)\pi}{4}\), que não dependem de \(t\).