Flashcard FC279741
Qual propriedade do operador da equação de onda garante a validade do princípio da superposição?
Ondas
CEBRASPE (CESPE) · 2021
Qual propriedade do operador da equação de onda garante a validade do princípio da superposição?
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Resposta
Linearidade do operador: \(L(u_1+u_2)=L(u_1)+L(u_2)\), então se \(L(u_1)=L(u_2)=0\) também \(L(u_1+u_2)=0\).Explicação:
O operador da equação de onda clássica pode ser escrito como \(L(u)=\partial_t^2 u - c^2\partial_x^2 u\).
Pela propriedade de derivadas lineares, \(L(u_1+u_2)=L(u_1)+L(u_2)\).
Portanto, quando \(u_1\) e \(u_2\) são soluções (\(L(u_1)=L(u_2)=0\)), sua soma também é solução, o que garante o princípio da superposição.
Exemplo:
Duas ondas harmônicas planas com mesma número de onda \(k\) e frequências próximas \(\omega_1,\omega_2\):
\(u_1=A\cos(kx-\omega_1 t)\), \(u_2=A\cos(kx-\omega_2 t)\).
Pela identidade trigonométrica, a soma é
\(u=u_1+u_2=2A\cos\!\big(\tfrac{\omega_1-\omega_2}{2}t\big)\cos\!\big(kx-\tfrac{\omega_1+\omega_2}{2}t\big)\),
mostrando a modulação de amplitude (batimentos) resultante da superposição — comportamento previsto porque a equação é linear.
Veja como foi cobrado:
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