Numa corda fixa vibrando no harmônico fundamental, todos os pontos vibram com a mesma frequência e fase? Por quê?

Sim. Exceto os nós (onde a amplitude é zero), todos os pontos oscilam com a mesma frequência e a mesma fase; a variação entre pontos está apenas na amplitude espacial \(A\sin(\pi x/L)\).

Explicação:
Para o modo fundamental a solução é \(y(x,t)=A\sin\!\left(\frac{\pi x}{L}\right)\cos(\omega t+\phi)\).
O fator temporal \(\cos(\omega t+\phi)\) é comum a todos os x, logo mesma frequência \(\omega\) e mesma fase. A dependência em x apenas escala a amplitude local.
Além disso, \(\omega=\pi v/L\) com \(v=\sqrt{T/\mu}\), dependendo de \(T\) e \(\mu\).

Exemplo:
Considere uma corda fixa de comprimento \(L=1{,}0\) m, tensão \(T=100\) N e densidade linear \(\mu=0{,}01\) kg/m.
Então \(v=\sqrt{T/\mu}=\sqrt{100/0{,}01}=100\) m/s e \(\omega=\pi v/L=100\pi\) rad/s, portanto \(f=\omega/(2\pi)=50\) Hz.
A forma da onda no fundamental é
\(y(x,t)=A\sin(\pi x)\cos(100\pi\,t+\phi)\),
onde a oscilação temporal \(\cos(100\pi t+\phi)\) é igual para todo x (apenas o fator \(\sin(\pi x)\) muda a amplitude local).