Flashcard FC279764
Ao multiplicar um sinal x(t) por uma senóide de frequência ω0, o que ocorre com seu espectro X(ω)?
Ondas
CEBRASPE (CESPE) · 2018
Ao multiplicar um sinal x(t) por uma senóide de frequência ω0, o que ocorre com seu espectro X(ω)?
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Resposta
O espectro é deslocado: a modulação cria cópias de X(ω) centradas em ±ω0 (em geral com fatores de escala).Explicação:
Multiplicando por cos(ω0 t) usamos \( \cos\omega_0 t=\tfrac{1}{2}(e^{j\omega_0 t}+e^{-j\omega_0 t}) \), então
\(x(t)\cos\omega_0 t=\tfrac{1}{2}x(t)e^{j\omega_0 t}+\tfrac{1}{2}x(t)e^{-j\omega_0 t}\).
Pela propriedade de deslocamento da transformada de Fourier:
\(\mathcal{F}\{x(t)e^{\pm j\omega_0 t}\}=X(\omega\mp\omega_0)\),
portanto
\(\mathcal{F}\{x(t)\cos\omega_0 t\}=\tfrac{1}{2}X(\omega-\omega_0)+\tfrac{1}{2}X(\omega+\omega_0)\).
Exemplo:
Considere um sinal com espectro retangular de largura \(2\Omega_m\):
\(X(\omega)=\mathrm{rect}\!\big(\tfrac{\omega}{2\Omega_m}\big)\) (não nulo para \(|\omega|<\Omega_m\)).
Ao modular por \(\cos\omega_0 t\) obtém-se
\(\tfrac{1}{2}\mathrm{rect}\!\big(\tfrac{\omega-\omega_0}{2\Omega_m}\big)+\tfrac{1}{2}\mathrm{rect}\!\big(\tfrac{\omega+\omega_0}{2\Omega_m}\big)\),
ou seja, duas janelas retangulares de meia amplitude, centradas em \(\omega=+\omega_0\) e \(\omega=-\omega_0\).
Veja como foi cobrado:
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