Flashcard FC279895
Por que uma superfície esférica em uma distribuição de carga que depende apenas de r é equipotencial?
Eletrostática
CEBRASPE (CESPE) · 2021
Por que uma superfície esférica em uma distribuição de carga que depende apenas de r é equipotencial?
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Resposta
Porque a simetria esférica faz com que o campo seja radial e de mesmo módulo em toda a superfície, logo a diferença de potencial entre quaisquer pontos é zero.Explicação:
A densidade \(\rho(r)\) depende apenas da distância ao centro, preservando a simetria esférica. Aplicando a Lei de Gauss a uma superfície esférica de raio \(R\): \(E(R)\,4\pi R^2=Q_{\text{int}}/\varepsilon_0\).
Como \(Q_{\text{int}}\) é único, o módulo \(E(R)\) é igual em todos os pontos da superfície e o campo é radial, então \(\Delta V=\int_A^B\vec E\cdot d\vec l=0\) para quaisquer pontos \(A,B\) sobre a superfície — portanto é equipotencial.
Exemplo:
Se \(\rho(r)=A r^2\) em \(0\le r\le R\):
\(Q_{\rm int}=\int_0^R A r^2\cdot 4\pi r^2\,dr=4\pi A\int_0^R r^4dr=\dfrac{4\pi A R^5}{5}\).
Então \(E(R)=\dfrac{Q_{\rm int}}{4\pi\varepsilon_0 R^2}=\dfrac{A R^3}{5\varepsilon_0}\), mesmo em todos os pontos da superfície, implicando que a superfície é equipotencial.
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