Como se obtém a equação diferencial para a carga q(t) em um circuito série R‑L‑C aplicando a Lei de Kirchhoff das tensões?

\( \displaystyle \frac{d^2q}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{dq}{dt}+\frac{q}{LC}=0 \)

Explicação:
Aplicando a Lei de Kirchhoff das tensões: \(V_R+V_L+V_C=0\).
Onde \(V_R=R\,i\), \(V_L=L\,\dfrac{di}{dt}\) e \(V_C=\dfrac{q}{C}\).
Como \(i=\dfrac{dq}{dt}\), substitui-se para obter
\(R\dfrac{dq}{dt}+L\dfrac{d^2q}{dt^2}+\dfrac{q}{C}=0\), que dividido por \(L\) resulta na equação acima.

Exemplo:
Considere \(R=10\ \Omega\), \(L=0.5\ \mathrm{H}\), \(C=100\ \mu\mathrm{F}=100\times10^{-6}\ \mathrm{F}\) e tensão inicial \(V_0=20\ \mathrm{V}\) com \(i(0)=0\).
Então \(q(0)=C V_0=100\times10^{-6}\cdot20=2.0\times10^{-3}\ \mathrm{C}\).
A EDO é \( \dfrac{d^2q}{dt^2}+\dfrac{10}{0.5}\dfrac{dq}{dt}+\dfrac{q}{0.5\cdot100\times10^{-6}}=0\).
Simplificando: \( \dfrac{d^2q}{dt^2}+20\dfrac{dq}{dt}+2\times10^{4}q=0\).
Frequência natural \( \omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{\sqrt{0.5\cdot100\times10^{-6}}}\approx141.42\ \mathrm{rad/s}\).
Coeficiente de amortecimento \( \alpha=\dfrac{R}{2L}= \dfrac{10}{1}=10\ \mathrm{s^{-1}}\), razão de amortecimento \( \zeta=\dfrac{\alpha}{\omega_0}\approx0.0707\) (subamortecido).
Assim a solução é da forma \( q(t)=A e^{-\alpha t}\cos(\omega_d t)+B e^{-\alpha t}\sin(\omega_d t)\), com \( \omega_d=\omega_0\sqrt{1-\zeta^2}\).
Com \(q(0)=2.0\times10^{-3}\) e \(i(0)=q'(0)=0\) obtém-se \(A=2.0\times10^{-3}\) e \(B=\dfrac{\alpha A}{\omega_d}\approx1.414\times10^{-4}\).
Portanto:
\( \displaystyle q(t)=2.0\times10^{-3}e^{-10t}\cos(141.4\,t)+1.414\times10^{-4}e^{-10t}\sin(141.4\,t)\).\