Segundo a Lei de Gauss, o que determina o fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana fechada quando não há carga cruzando essa superfície?

O fluxo é determinado exclusivamente pela carga total enclausurada: \( \Phi=\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\dfrac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}\).

Explicação:
Integrando a forma diferencial \( \nabla\cdot\vec{E}=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}\) sobre o volume interno obtém‑se \( \oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\dfrac{1}{\varepsilon_0}\int \rho\,dV=\dfrac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}\).
Logo, se nenhuma carga atravessa a superfície (Q_int constante), o fluxo permanece constante mesmo que a distribuição \(\rho(t,\vec r)\) mude internamente.

Exemplo:
Considere uma caixa cúbica fechada contendo cargas internas que se movem, mas cujo somatório é \(Q_{\text{int}}=3{\,}\mu\text{C}\).
O fluxo através da superfície da caixa é
\( \Phi=\dfrac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}=\dfrac{3\times10^{-6}}{8{,}854\times10^{-12}}\approx3{,}39\times10^{5}\ \text{N·m}^2\!/\text{C}\),
independente da posição ou movimento interno das cargas, desde que nenhuma saia ou entre na caixa.