Como o tempo próprio Δτ se relaciona com o intervalo de tempo Δt medido em outro referencial inercial?

Resposta

Δt ≥ Δτ.

Pela invariância do intervalo de Lorentz: \(c^2\Delta\tau^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2\). Como \(\Delta x^2\ge0\) segue \(\Delta t^2\ge\Delta\tau^2\), logo \(\Delta t\ge\Delta\tau\). Equivalentemente, pela dilatação do tempo: \(\Delta t=\gamma\,\Delta\tau\) com \(\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\ge1\).

Exemplo:
Um múon tem tempo próprio \(\Delta\tau=2{,}2\ \mu\text{s}\) e viaja a \(v=0{,}98c\).
Calcula-se \(\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-0{,}98^2}}\approx5{,}03\).
Logo o tempo medido no laboratório é \(\Delta t=\gamma\Delta\tau\approx5{,}03\times2{,}2\ \mu\text{s}\approx11{,}07\ \mu\text{s}\), que é maior que o tempo próprio.