Flashcard FC280018
Como separar e integrar a equação do movimento horizontal com arrasto \(F_a=-k v^2\) para obter a velocidade em função da posição \(v(x)\)?
Outras Questões de Física
CEBRASPE (CESPE) · 2025
Como separar e integrar a equação do movimento horizontal com arrasto \(F_a=-k v^2\) para obter a velocidade em função da posição \(v(x)\)?
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Resposta
v(x)=v_0\,e^{-(k/m)\,x}.Explicação:
Para arrasto quadrático na direção x: \(m\,\dfrac{dv}{dt}=-k\,v^2\). Usando \(\dfrac{dv}{dt}=v\,\dfrac{dv}{dx}\) obtém-se \(m\,v\,\dfrac{dv}{dx}=-k\,v^2\).
Cancelando \(v\) (não nulo) e separando variáveis: \(\dfrac{dv}{v}=-(k/m)\,dx\).
Integrando de 0 a x: \(\ln\!\dfrac{v(x)}{v_0}=-(k/m)\,x\), daí \(v(x)=v_0\,e^{-(k/m)x}\).
Exemplo:
Um objeto parte com \(v_0=20\ \text{m/s}\) e \(k/m=0.10\ \text{m}^{-1}\). A velocidade após \(x=5\ \text{m}\) é
\(v(5)=20\,e^{-0.10\cdot 5}=20\,e^{-0.5}\approx 12{,}1\ \text{m/s}.\)
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