Como se calcula o instante em que uma função quadrática atinge seu máximo e como verificar se esse instante está em um intervalo dado?

t_v = -b/(2a), se a < 0 então é máximo; confirme se t_v pertence ao intervalo dado.

Explicação completa:
Calcule o vértice da parábola pela fórmula \(t_v=\dfrac{-b}{2a}\). Se a for negativo, a parábola tem concavidade para baixo e o vértice é um máximo. Verifique se \(t_v\) está dentro do intervalo considerado; se não estiver, o máximo no intervalo ocorre em um dos extremos.

Exemplo:
Considere \(q(t)=-4t^2+20t+5\) no intervalo \([0,6]\).
\(t_v=\dfrac{-20}{2\cdot(-4)}=\dfrac{20}{8}=2{,}5\) → está em \([0,6]\) e como \(a=-4<0\) é máximo.
Valor máximo: \(q(2{,}5)=-4(2{,}5)^2+20(2{,}5)+5=-4(6{,}25)+50+5=-25+55=30\).
Se o intervalo fosse \([3,6]\), \(t_v\) não pertence; então compare extremos: \(q(3)=29\), \(q(6)=-19\), logo o máximo em \([3,6]\) seria 29 em \(t=3\).