Flashcard FC280063
Na lei P² = K·r³, como a constante K depende da constante gravitacional G e da massa central M?
Outras Questões de Física
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Na lei P² = K·r³, como a constante K depende da constante gravitacional G e da massa central M?
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Resposta
K é inversamente proporcional a G e a M.A partir da gravitação e da dinâmica circular:
\(m\frac{v^2}{r}=\dfrac{G M m}{r^2}\Rightarrow v^2=\dfrac{G M}{r}\).
Como \(P=\dfrac{2\pi r}{v}\), segue
\(P^2=\dfrac{4\pi^2 r^3}{G M}\), portanto \(K=\dfrac{4\pi^2}{G M}\), logo \(K\propto \dfrac{1}{G}\) e \(K\propto \dfrac{1}{M}\).
exemplo: Compare \(K\) em torno do Sol e da Terra:
\(K_{\rm corpo}=\dfrac{4\pi^2}{G M_{\rm corpo}}\).
Assim \(\dfrac{K_{\oplus}}{K_{\odot}}=\dfrac{M_{\odot}}{M_{\oplus}}\approx\dfrac{1{,}989\times10^{30}}{5{,}97\times10^{24}}\approx3{,}33\times10^5\),
mostrando que, por a Terra ser muito menos massiva, seu \(K\) é muito maior — conforme a dependência inversa em \(M\).
Veja como foi cobrado:
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