Como a aproximação dos patched conics explica a variação da velocidade heliocêntrica de uma nave durante um encontro planetário?

Resposta: A aproximação trata o encontro em dois regimes: fora da esfera de influência o movimento é heliocêntrico kepleriano e dentro dela é planetocêntrico; a nave descreve uma hipérbole planetocêntrica com velocidade assintótica \(v_\infty\) cuja deflexão altera a direção (e, assim, a energia) da velocidade heliocêntrica sem gasto significativo de combustível.

Explicação e exemplo:
Na técnica dos patched conics as trajetórias são conectadas na fronteira da esfera de influência, cuja ordem de grandeza é dada por \(r_{SOI}=a\left(\frac{m}{M}\right)^{2/5}\).
Fora do \(r_{SOI}\): órbita kepleriana em torno do Sol.
Dentro do \(r_{SOI}\): órbita kepleriana em torno do planeta (geralmente uma hipérbole para sobrevoos), com velocidade de escape assintótica \(v_\infty\).
A deflexão hiperbólica muda a direção do vetor velocidade da nave; em termos heliocêntricos isso resulta em ganho ou perda de velocidade (energia) efetiva em relação ao Sol.

Exemplo:
Calcule a ordem de grandeza da esfera de influência de Júpiter usando \(a=5{,}204\ \mathrm{AU}\) e \(m/M\approx9{,}544\times10^{-4}\):
\(r_{SOI}=a\left(\dfrac{m}{M}\right)^{2/5}\)
\(r_{SOI}=5{,}204\left(9{,}544\times10^{-4}\right)^{0.4}\ \mathrm{AU}\approx0.323\ \mathrm{AU}\)
Isso corresponde a cerca de \(0{,}323\times1{,}496\times10^{8}\ \mathrm{km}\approx4{,}8\times10^{7}\ \mathrm{km}\).
Logo, um sobrevoo de Júpiter com um certo \(v_\infty\) será tratado como hipérbole planetocêntrica dentro desse raio; a deflexão angular nesta hipérbole rotaciona o vetor velocidade heliocêntrico da nave, possibilitando um grande impulso gravitacional (por exemplo, acelerar uma sonda rumo ao Cinturão de Kuiper) sem consumo de propelente.