Como o discriminante \( \Delta = c^2 - 4mk \) determina se um sistema massa-mola amortecido é sub-amortecido, criticamente amortecido ou super-amortecido?

Δ<0 → sub-amortecido; Δ=0 → criticamente amortecido; Δ>0 → super-amortecido.

Explicação:
Para a equação característica \(mr^2+cr+k=0\) o discriminante é \( \Delta=c^2-4mk \).
As raízes são \( r=\dfrac{-c\pm\sqrt{\Delta}}{2m} \).
Se \( \Delta<0\) as raízes são complexas conjugadas → resposta oscilatória amortecida.
Se \( \Delta=0\) há raiz real dupla → amortecimento crítico (retorno mais rápido sem oscilar).
Se \( \Delta>0\) há duas raízes reais distintas → sobreamortecimento (sem oscilações, retorno lento).

Exemplo:
Considere \(m=2\ \text{kg}\), \(k=8\ \text{N/m}\), \(c=5\ \text{N·s/m}\).
\( \Delta=5^2-4\cdot2\cdot8=25-64=-39<0\) → sub-amortecido.
As raízes: \( r=\dfrac{-5\pm\sqrt{-39}}{4}=\dfrac{-5}{4}\pm i\dfrac{\sqrt{39}}{4}\), ou seja \( r\approx -1{,}25\pm i\,1{,}561\), indicando oscilações amortecidas.