Flashcard FC280080
Como se obtêm as frequências naturais a partir dos autovalores da matriz de rigidez normalizada pela massa?
Outras Questões de Física
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Como se obtêm as frequências naturais a partir dos autovalores da matriz de rigidez normalizada pela massa?
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Resposta
\(\displaystyle \omega_i=\sqrt{\frac{k}{m}\,\lambda_i}\)Explicação:
Partindo do problema de autovalores \(\;M^{-1}K\phi=\lambda\phi\;\) (para massas iguais \(M=mI\) fica \( (K/m)\phi=\lambda\phi\)), tem-se \(\omega^2=(k/m)\lambda\) e portanto \(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}\lambda}\).
Exemplo:
Considere 2 graus de liberdade com massas iguais \(m\) e molas de rigidez \(k\) ligando cada massa ao solo e entre elas. A matriz normalizada é \(\displaystyle \frac{k}{m}\begin{bmatrix}2 & -1\\[4pt]-1 & 2\end{bmatrix}\).
O polinômio característico é \(\det\!\left(\begin{bmatrix}2&-1\\[4pt]-1&2\end{bmatrix}-\lambda I\right)=(2-\lambda)^2-1=\lambda^2-4\lambda+3\).
Logo \(\lambda_1=1,\ \lambda_2=3\) e as frequências são \(\displaystyle \omega_1=\sqrt{\frac{k}{m}},\quad \omega_2=\sqrt{\frac{3k}{m}}\).
Veja como foi cobrado:
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