Como determinar a razão entre os tamanhos de dois subgrupos a partir das médias dos subgrupos e da média conjunta?

Pela fórmula da média ponderada: \( \dfrac{n_1}{n_2}=\dfrac{M-\overline{x}_2}{\overline{x}_1-M}\).

Justificativa:
Partindo de \( \overline{x}_1 n_1+\overline{x}_2 n_2=M(n_1+n_2)\) temos
\((\overline{x}_1-M)n_1=(M-\overline{x}_2)n_2\), portanto \( \dfrac{n_1}{n_2}=\dfrac{M-\overline{x}_2}{\overline{x}_1-M}\).

Exemplo:
Suponha dois grupos com médias \(\overline{x}_1=70\) e \(\overline{x}_2=80\) e média conjunta \(M=76\).
Calcula-se \( \dfrac{n_1}{n_2}=\dfrac{76-80}{70-76}=\dfrac{-4}{-6}=\dfrac{2}{3}\).
Logo, os tamanhos estão na razão \(2:3\).