Qual é a relação entre a variância populacional, a média dos quadrados e o quadrado da média?

Fórmula: \( \sigma^2 = \text{média dos quadrados} - (\text{média})^2 \)

Exemplo:
Considere as observações 2, 2 e \(x\) com variância populacional igual a 2.
Calcule a média dos quadrados: \( \dfrac{4+4+x^2}{3}=\dfrac{8+x^2}{3}\).
Calcule o quadrado da média: \( \left(\dfrac{2+2+x}{3}\right)^2=\left(\dfrac{4+x}{3}\right)^2\).
Igualando: \(2=\dfrac{8+x^2}{3}-\left(\dfrac{4+x}{3}\right)^2\).
Multiplicando por 9 e simplificando: \(18=3(8+x^2)-(4+x)^2=8+2x^2-8x\).
Obtemos \(2x^2-8x-10=0\Rightarrow x^2-4x-5=0\).
Assim \(x=\dfrac{4\pm\sqrt{36}}{2}=\dfrac{4\pm6}{2}\), logo \(x=5\) ou \(x=-1\).