Como calcular o desvio padrão populacional a partir de uma distribuição por classes usando os pontos médios?

Usa-se os pontos médios como valores: calcula-se a média ponderada \( \bar{x}=\dfrac{\sum f_i x_i}{N}\) e depois \( \sigma=\sqrt{\dfrac{\sum f_i (x_i-\bar{x})^2}{N}}\).

Exemplo:
Considere classes 0–9, 10–19, 20–29 com frequências 5, 8, 7. Pontos médios \(x_i=4{,}5,\;14{,}5,\;24{,}5\).
Calcule \( \bar{x}=\dfrac{4{,}5\cdot5+14{,}5\cdot8+24{,}5\cdot7}{20}=\dfrac{310}{20}=15{,}5\).
Calcule \( \sum f_i(x_i-\bar{x})^2=5(4{,}5-15{,}5)^2+8(14{,}5-15{,}5)^2+7(24{,}5-15{,}5)^2=605+8+567=1180\).
Então \( \sigma=\sqrt{\dfrac{1180}{20}}=\sqrt{59}\approx7{,}68\).
Interpretação: o desvio padrão é aproximadamente 7,68 unidades.