Como se calcula o desvio padrão populacional a partir da soma dos quadrados dos valores e da média?

Fórmula principal: \( \sigma=\sqrt{\dfrac{\sum x_i^2}{n}-\mu^2}\)
Relação com coeficiente de variação: \( \text{CV}=\dfrac{\sigma}{\mu}\) portanto \( \sigma=\text{CV}\cdot\mu\).

Derivação útil quando CV é conhecido: a partir de \( \text{CV}^2\mu^2=\dfrac{\sum x_i^2}{n}-\mu^2\) obtemos \( \mu=\sqrt{\dfrac{\frac{\sum x_i^2}{n}}{1+\text{CV}^2}}\).

Exemplo:
Suponha \(n=8\), \(\sum x_i^2=288\) e \(\text{CV}=0{,}25\).
\( \dfrac{\sum x_i^2}{n}= \dfrac{288}{8}=36\).
\( \mu=\sqrt{\dfrac{36}{1+0{,}25^2}}=\sqrt{\dfrac{36}{1{,}0625}}=\sqrt{33{,}88235294}\approx5{,}8215\).
\( \sigma=\text{CV}\cdot\mu=0{,}25\times5{,}8215\approx1{,}4554\).
Verificação: \( \sigma=\sqrt{36-\mu^2}=\sqrt{36-33{,}88235}=\sqrt{2{,}11765}\approx1{,}4554\).