Flashcard FC282095
Qual é a condição necessária e suficiente para que um triângulo formado por três pontos numa circunferência contenha o centro?
Probabilidade
VUNESP · 2025
Qual é a condição necessária e suficiente para que um triângulo formado por três pontos numa circunferência contenha o centro?
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Resposta
Contém o centro se e somente se os três vértices não estiverem todos em um mesmo semicírculo.Explicação:
Para n pontos igualmente espaçados, seja \(m=\lfloor n/2\rfloor\).
Triângulos que não contêm o centro são exatamente aqueles cujos três vértices cabem em algum semicírculo.
Ao fixar um vértice como o mais à frente (no sentido horário), os outros dois devem vir entre os próximos \(m\) pontos, gerando \(\binom{m}{2}\) escolhas por vértice fixo.
Como há \(n\) escolhas para o vértice inicial, o total desses triângulos é \(n\cdot\binom{m}{2}\).
Assim, triângulos que contêm o centro = \(\binom{n}{3}-n\cdot\binom{m}{2}\).
Exemplo:
Considere \(n=7\).
\(\binom{7}{3}=35\).
\(m=\lfloor7/2\rfloor=3\) e \(\binom{3}{2}=3\).
Triângulos em um semicírculo: \(7\cdot3=21\).
Triângulos que contêm o centro: \(35-21=14\).
Probabilidade = \(14/35=2/5\).
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Veja como foi cobrado:
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