Como transformar probabilidades dadas por frações em contagens inteiras e obter o menor total compatível com elas?

Represente cada fração como numerador/denominador vezes um inteiro escalar; sem outras restrições, tomar os escalares mínimos (1) dá o menor total.

Cada probabilidade \(a/b\) corresponde a contagem \(a\cdot k\) e total do subgrupo \(b\cdot k\), com \(k\in\mathbb{N}\).
Para dois subgrupos com frações \(a_1/b_1\) e \(a_2/b_2\), o total geral é \(b_1k_1+b_2k_2\), havendo infinitas soluções ao variar \(k_1,k_2\).
Se não há restrições adicionais que liguem \(k_1\) e \(k_2\), o menor total inteiro ocorre com \(k_1=k_2=1\).

Exemplo:
Em um cenário hipotético, no Setor A a probabilidade de um tipo é \(3/8\), no Setor B a probabilidade de outro tipo é \(5/9\).
Então Setor A: contagem \(=3k\), total \(=8k\).
Setor B: contagem \(=5m\), total \(=9m\).
Total do grupo \(=8k+9m\).
Sem mais restrições, o menor total inteiro ocorre com \(k=m=1\), ou seja \(8+9=17\).