Flashcard FC282198
Como se calcula a probabilidade de um jogador vencer somando as probabilidades das sequências terminantes quando as jogadas são independentes e cada acerto tem probabilidade p?
Probabilidade
VUNESP · 2018
Como se calcula a probabilidade de um jogador vencer somando as probabilidades das sequências terminantes quando as jogadas são independentes e cada acerto tem probabilidade p?
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Resposta
Somando as probabilidades de todas as sequências que terminam na vitória; cada sequência de n jogadas tem probabilidade \(p^{\#acertos}(1-p)^{\#falhas}\).Explicação breve:
Somam-se apenas as sequências em que o jogador atinge primeiro o número requerido de acertos, atribuindo a cada sequência a probabilidade produto dos acertos e falhas nela.
Exemplo:
Considere que um jogador precisa de 1 acerto e o adversário precisa de 2, com probabilidade de acerto \(p\) em cada jogada e jogadas alternadas começando pelo primeiro jogador.
As sequências que dão vitória ao primeiro são:
- vitória imediata: probabilidade \(p\),
- falha do primeiro e falha do adversário, então vitória do primeiro: probabilidade \((1-p)^2 p\),
- e assim por diante. Portanto
\(P = p + (1-p)^2 p + (1-p)^4 p + \cdots = p\sum_{k=0}^{\infty}(1-p)^{2k} = \dfrac{p}{1-(1-p)^2} = \dfrac{1}{2-p}.\)
Para \(p=\tfrac{1}{2}\): \(P=\dfrac{1}{2-1/2}=\dfrac{2}{3}\).
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Veja como foi cobrado:
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