Como calcular a probabilidade de escolher 2 elementos de categorias distintas e ter pelo menos um com uma característica, usando contagem direta e complementar?

Calcule os pares entre categorias, subtraia os pares sem a característica e divida pelo total de pares.

Explicação:
Seja n1 e n2 os tamanhos das duas categorias, t1 e t2 o número com a característica em cada uma.
• Pares entre categorias: \(n_1\cdot n_2\).
• Pares entre categorias em que nenhum tem a característica: \((n_1-t_1)(n_2-t_2)\).
• Pares favoráveis: \(n_1n_2-(n_1-t_1)(n_2-t_2)\).
• Total de pares: \(\binom{N}{2}\) com \(N=n_1+n_2\).
• Probabilidade: \(\dfrac{n_1n_2-(n_1-t_1)(n_2-t_2)}{\binom{N}{2}}\).

exemplo
Considere duas categorias: X com 10 elementos (6 com a característica) e Y com 7 elementos (3 com a característica).
• Pares X–Y: \(10\cdot7=70\).
• Nenhum com a característica: \((10-6)(7-3)=4\cdot4=16\).
• Favoráveis: \(70-16=54\).
• Total de pares: \(\binom{17}{2}=\dfrac{17\cdot16}{2}=136\).
• Probabilidade: \(\dfrac{54}{136}=\dfrac{27}{68}\).