Como calcular a probabilidade por análise combinatória quando o espaço amostral exclui combinações formadas somente por um tipo?

Calcule: total válido = total de combinações possíveis menos as combinações proibidas; favoráveis = combinações que atendem a condição; probabilidade = favoráveis / total válido.

Explicação:
1) Total: \(C_{n,k}\) para escolher k elementos do total n.
2) Proibidos: subtrai-se as combinações que são exclusivamente de um tipo (ex.: \(C_{n_1,k}\) e \(C_{n_2,k}\)).
3) Favoráveis: conta-se as combinações com a composição desejada (produto de combinações por tipo).
4) Probabilidade: \(\dfrac{\text{favoráveis}}{\text{total válido}}\).

Exemplo:
Suponha 12 pessoas: 7 do tipo A e 5 do tipo B. Formam-se grupos de 4, proibidos grupos só de A ou só de B. Qual a probabilidade de escolher aleatoriamente um grupo válido com exatamente 3 A e 1 B?

• Total: \(C_{12,4}=495\).
• Proibidos: \(C_{7,4}=35\) (só A) e \(C_{5,4}=5\) (só B).
• Total válido: \(495-35-5=455\).
• Favoráveis: \(C_{7,3}\cdot C_{5,1}=35\cdot 5=175\).
• Probabilidade: \(\dfrac{175}{455}=\dfrac{5}{13}\).