Como se determina a ação de Bayes usando probabilidades a posteriori e uma matriz de perdas?

\(L(a\mid X)=\sum_{\theta} L(a,\theta)\,p(\theta\mid X)\)

Calcule a perda esperada de cada ação com as probabilidades a posteriori e escolha a ação com menor perda esperada.

Exemplo:
Decisão: tratar (a0) ou não tratar (a1).
Estados: sick (θ0) e healthy (θ1).
Matriz de perdas: \(L(\text{tratar},\text{healthy})=5\), \(L(\text{não tratar},\text{sick})=20\), demais perdas = 0.
Suponha \(p(\text{sick}\mid X)=0.3\) e \(p(\text{healthy}\mid X)=0.7\).
Cálculos:
\(L(\text{tratar}\mid X)=5\cdot p(\text{healthy}\mid X)=5\cdot0.7=3.5\)
\(L(\text{não tratar}\mid X)=20\cdot p(\text{sick}\mid X)=20\cdot0.3=6\)
Decisão de Bayes: tratar, pois \(3.5<6\).
Perda esperada associada à ação escolhida: \(3.5\).