Como calcular a esperança de uma variável aleatória discreta e usar a linearidade da esperança para obter a esperança da soma de n variáveis?

A esperança é dada por Σ x·P(X=x); para S=Σ_{i=1}^n X_i vale E(S)=Σ_{i=1}^n E(X_i) (se i.i.d., E(S)=n·E(X)).

Explicação e exemplo:
Para uma variável discreta X:
\(E(X)=\sum_x x\,P(X=x)\).
Pela linearidade:
\(E\!\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)=\sum_{i=1}^n E(X_i)\).
Se as X_i são identicamente distribuídas,
\(E(S)=n\cdot E(X)\).

Exemplo:
Considere o número de itens defeituosos por caixa Y com distribuição: P(Y=0)=0{,}60, P(Y=1)=0{,}25, P(Y=2)=0{,}10, P(Y=3)=0{,}05.
Calcule:
\(E(Y)=0\cdot0{,}60+1\cdot0{,}25+2\cdot0{,}10+3\cdot0{,}05\)
\(E(Y)=0+0{,}25+0{,}20+0{,}15=0{,}60\).\)
Se houver 50 caixas independentes, o total de defeitos T=Σ_{i=1}^{50} Y_i tem esperança:
\(E(T)=50\cdot E(Y)=50\cdot0{,}60=30\).