Qual a fórmula para \( \mathrm{Var}(aX - bY) \) em função de \( \mathrm{Var}(X) \), \( \mathrm{Var}(Y) \) e \( \mathrm{Cov}(X,Y) \)?

\( \mathrm{Var}(aX - bY)=a^{2}\mathrm{Var}(X)+b^{2}\mathrm{Var}(Y)-2ab\,\mathrm{Cov}(X,Y)\)

Explicação breve:
Usa-se a propriedade \( \mathrm{Var}(U+V)=\mathrm{Var}(U)+\mathrm{Var}(V)+2\mathrm{Cov}(U,V)\) com \(U=aX\) e \(V=-bY\), aplicando \( \mathrm{Var}(cZ)=c^{2}\mathrm{Var}(Z)\) e \( \mathrm{Cov}(cX,dY)=cd\,\mathrm{Cov}(X,Y)\).

Exemplo:
Se \(a=3\), \(b=1\), \( \mathrm{Var}(X)=4\), \( \mathrm{Var}(Y)=9\) e \( \mathrm{Cov}(X,Y)=2\):
Aplicando a fórmula:
\( \mathrm{Var}(3X-1Y)=3^{2}\cdot 4 + 1^{2}\cdot 9 - 2\cdot 3\cdot 1\cdot 2 \)
\( =9\cdot 4 + 9 - 12 =36+9-12=33\).