Como se obtêm a média e a variância de Z = X + Y quando X e Y são independentes?

Média: \(E(Z)=E(X)+E(Y)\).
Variância: \(Var(Z)=Var(X)+Var(Y)\) (se independentes).

Explicação:
Se X e Y são independentes, cov(X,Y)=0, então pela linearidade da esperança e pela propriedade da variância temos \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\) e \(Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)\). A partir da variância obtém-se o desvio padrão por \(SD(Z)=\sqrt{Var(Z)}\).

Exemplo:
Considere \(X\sim N(2,1^2)\) e \(Y\sim N(4,2^2)\).
\(E(Z)=2+4=6\)
\(Var(Z)=1^2+2^2=1+4=5\)
\(SD(Z)=\sqrt{5}\).