O que caracteriza uma correlação positiva perfeita (ρ = +1) entre duas variáveis aleatórias?

ρ = +1: existe relação linear perfeita crescente entre as variáveis, ou seja \(Y=a+bX\) com \(b>0\).

Explicação:
Quando ρ = +1 a covariância atinge seu valor máximo: \(\mathrm{Cov}(X,Y)=\sigma_X\sigma_Y\).
Logo \(\rho=\dfrac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}=1\) e qualquer variação em uma variável é acompanhada por variação proporcional na outra (sem aleatoriedade residual).
Para somas, por exemplo, \(\mathrm{Var}(X+Y)=\sigma_X^2+\sigma_Y^2+2\sigma_X\sigma_Y=(\sigma_X+\sigma_Y)^2\), mostrando ausência de redução de risco por combinação.

Exemplo:
Considere temperatura em Celsius \(X\) e em Fahrenheit \(Y\) relacionadas por \(Y=32+1.8X\).
Temos \(b=1.8>0\), logo correlação perfeita positiva (se não houver erro de medida).
Se \(\sigma_X=1^\circ\mathrm{C}\) então \(\sigma_Y=1.8^\circ\mathrm{F}\).
Calculando a variância da soma:
\(\mathrm{Var}(X+Y)=1^2+1.8^2+2\cdot1\cdot1.8=(1+1.8)^2=7.84\).
Isso ilustra a relação linear perfeita e a fórmula da variância quando \(\rho=+1\).