Flashcard FC282265
Como se determina a constante de normalização de uma densidade contínua e como se calculam a esperança e a mediana a partir da função densidade?
Variáveis Aleatórias
VUNESP · 2021
Como se determina a constante de normalização de uma densidade contínua e como se calculam a esperança e a mediana a partir da função densidade?
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Resposta
Normalização: integrar a densidade no suporte = 1 para achar a constante; Esperança: \(E(X)=\int x\,f(x)\,dx\); Mediana: achar \(M\) tal que \(\int_{-\infty}^{M} f(x)\,dx=0{,}5\).Exemplo:
Considere \(f(x)=K(1-x)\) para \(0\le x\le1\), e \(0\) fora.
Normalização:
\(\displaystyle \int_0^1 K(1-x)\,dx = K\Big[x-\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^1 = K\big(1-\tfrac{1}{2}\big)=\tfrac{K}{2}=1\Rightarrow K=2.\)
Esperança:
\(\displaystyle E(X)=\int_0^1 x\cdot 2(1-x)\,dx = 2\int_0^1 (x-x^2)\,dx =2\Big[\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{x^3}{3}\Big]_0^1 =2\Big(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}\Big)=\tfrac{1}{3}.\)
Mediana:
Resolver \(\displaystyle \int_0^M 2(1-x)\,dx=0{,}5\Rightarrow 2\Big(M-\tfrac{M^2}{2}\Big)=0{,}5\Rightarrow M^2-2M+0{,}5=0.\)
\(\displaystyle M=1\pm\tfrac{\sqrt{2}}{2}\). Como \(0\le M\le1\), escolhe-se \(M=1-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\approx0{,}293.\)
Veja como foi cobrado:
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