Flashcard FC282271
Como calcular a probabilidade de X ser par quando X ~ Bin(n,p)?
Principais Distribuições Discretas
VUNESP · 2022
Como calcular a probabilidade de X ser par quando X ~ Bin(n,p)?
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Resposta
P(X é par) = \(\dfrac{(q+p)^n+(q-p)^n}{2}=\dfrac{1+(1-2p)^n}{2}\), com \(q=1-p\).Explicação:
Pelo teorema binomial, \((q+p)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}q^{\,n-k}p^k\) e \((q-p)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}q^{\,n-k}(-p)^k\).
Somando as duas expansões, os termos com \(k\) ímpar se cancelam, restando o dobro da soma dos termos com \(k\) par, ou seja \(2\sum_{k\ \text{par}}\binom{n}{k}q^{\,n-k}p^k\).
Dividindo por 2 obtemos a probabilidade buscada: \(P(X\ \text{par})=\dfrac{(q+p)^n+(q-p)^n}{2}\). Substituindo \(q=1-p\) vem \(P(X\ \text{par})=\dfrac{1+(1-2p)^n}{2}\).
Exemplo:
Se \(n=6\) e \(p=0.3\), então \(1-2p=0.4\) e
\(P(X\ \text{par})=\dfrac{1+0.4^6}{2}=\dfrac{1+0.004096}{2}=0.502048\).
Veja como foi cobrado:
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