Flashcard FC282272
Como se calcula P(X ≤ k) para X ~ Bin(n,p)?
Principais Distribuições Discretas
VUNESP · 2019
Como se calcula P(X ≤ k) para X ~ Bin(n,p)?
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Resposta
Calcula-se somando as probabilidades de 0 até k sucessos: \(P(X\le k)=\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{\,n-i}.\)Explicação:
Para uma distribuição binomial com n ensaios independentes e probabilidade de sucesso p, cada termo \( \binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i} \) representa a probabilidade de exatamente i sucessos, onde \(\binom{n}{i}\) conta as posições possíveis do(s) sucesso(s).
Como "no máximo k" significa qualquer número de sucessos de 0 até k, somam-se esses termos, pois são eventos mutuamente exclusivos.
Exemplo:
Calcular \(P(X\le2)\) para \(X\sim\mathrm{Bin}(n=4,p=0{,}3)\):
\(P(X\le2)=\sum_{i=0}^{2}\binom{4}{i}0{,}3^{i}0{,}7^{4-i}\)
\(P(0)=\binom{4}{0}0{,}3^{0}0{,}7^{4}=0{,}2401\)
\(P(1)=\binom{4}{1}0{,}3^{1}0{,}7^{3}=4\cdot0{,}3\cdot0{,}343=0{,}4116\)
\(P(2)=\binom{4}{2}0{,}3^{2}0{,}7^{2}=6\cdot0{,}09\cdot0{,}49=0{,}2646\)
Logo, \(P(X\le2)=0{,}2401+0{,}4116+0{,}2646=0{,}9163\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/281545
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