Em que condições se pode aproximar uma Binomial por uma Distribuição de Poisson e como se calcula \(P(X=k)\) nessa aproximação?

Condições: quando n é grande, p é pequeno e \(\lambda=np\) é moderado; Fórmula: \(P(X=k)=\dfrac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}.\)

Explicação:
Para aproximar Bin(n,p) por Poisson, calcule \(\lambda=np\). Substitua \(\lambda\) na função massa de probabilidade de Poisson \(P(X=k)=e^{-\lambda}\lambda^k/k!\).
Exemplo: suponha taxa de defeitos \(p=0{,}005\) em itens e uma amostra de \(n=1000\). Então \(\lambda=np=1000\cdot0{,}005=5\). A probabilidade de exatamente 3 defeitos é
\(P(X=3)=\dfrac{e^{-5}\,5^3}{3!}=\dfrac{e^{-5}\cdot125}{6}.\)