Se X ~ Poisson(λ) e P(X=k)=P(X=k+1), qual é λ em função de k?

λ = k+1

Explicação:
Da PMF \(P(X=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}\). Igualando \(P(X=k)=P(X=k+1)\) e cancelando o fator comum, vem \(1=\dfrac{\lambda}{k+1}\), logo \(\lambda=k+1\).

Exemplo:
Se \(P(X=5)=P(X=6)\), então \(\lambda=6\).
Para um intervalo com metade da duração, \(\lambda_{1/2}=6/2=3\).
Probabilidade de mais que 2 eventos nesse meio-intervalo:
\(P(X>2)=1-\sum_{i=0}^2 e^{-3}\dfrac{3^i}{i!}=1-\left(e^{-3}+3e^{-3}+\dfrac{9}{2}e^{-3}\right)=1-\dfrac{17}{2}e^{-3}.\)