Flashcard FC282286
Como se calculam E[X] e Var(X) para X ~ Uniforme Contínua U[a,b]?
Principais Distribuições Contínuas
VUNESP · 2024
Como se calculam E[X] e Var(X) para X ~ Uniforme Contínua U[a,b]?
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Resposta
E[X]=\dfrac{a+b}{2}; Var(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}.Explicação:
Para uma variável com distribuição uniforme contínua em \([a,b]\), a densidade é constante no intervalo e simétrica, o que leva à média \(E[X]=\dfrac{a+b}{2}\).
A variância pode ser obtida diretamente por \(Var(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}\) ou por \(Var(X)=E[X^2]-E[X]^2\) com \(E[X^2]=\dfrac{a^2+ab+b^2}{3}\).
exemplo:
Se \(X\sim U[2,8]\):
\(E[X]=\dfrac{2+8}{2}=5\).
\(Var(X)=\dfrac{(8-2)^2}{12}=\dfrac{36}{12}=3\).
Usando \(E[X^2]\): \(E[X^2]=\dfrac{2^2+2\cdot8+8^2}{3}=\dfrac{84}{3}=28\), então \(Var(X)=28-5^2=3\).
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