Flashcard FC282292
Se \(\mathbf{X}\) é normal multivariada, que distribuição tem a combinação linear \(Y=\mathbf{c}^\top\mathbf{X}\) para qualquer vetor \(\mathbf{c}\in\mathbb{R}^n\)?
Principais Distribuições Contínuas
VUNESP · 2024
Se \(\mathbf{X}\) é normal multivariada, que distribuição tem a combinação linear \(Y=\mathbf{c}^\top\mathbf{X}\) para qualquer vetor \(\mathbf{c}\in\mathbb{R}^n\)?
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Resposta
Normal univariada.Explicação:
Se \(\mathbf{X}\sim N_n(\mu,\Sigma)\) e \(\mathbf{c}\in\mathbb{R}^n\), então \(Y=\mathbf{c}^\top\mathbf{X}\) segue uma distribuição normal univariada.
Média: \(\mathbb{E}[Y]=\mathbf{c}^\top\mu\).
Variância: \(\mathrm{Var}(Y)=\mathbf{c}^\top\Sigma\mathbf{c}\).
Exemplo:
Considere \(\mathbf{X}=(X_1,X_2,X_3)^\top\sim N_3(\mu,\Sigma)\) com \(\mu=(1,0,2)^\top\) e \(\Sigma=\begin{pmatrix}1&0.5&0\\[4pt]0.5&2&0.3\\[4pt]0&0.3&1\end{pmatrix}\). Para \(\mathbf{c}=(2,0,-1)^\top\) temos \(Y=2X_1-X_3\).
\(\mathbb{E}[Y]=\mathbf{c}^\top\mu=2\cdot1+0\cdot0+(-1)\cdot2=0.\)
\(\mathrm{Var}(Y)=\mathbf{c}^\top\Sigma\mathbf{c}=5.\)
Logo, \(Y\sim N(0,5)\).
Veja como foi cobrado:
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